Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Definición 102 (Funciones inyectivas, sobreyectivas o biyecciones)   Sea $f: X \longrightarrow Y$. Diremos que:

1. $f$ es inyectiva o 1:1 (o $f$ es una inyección) si y sólo si para todos $x, y \in X$, $f(x) = f(y)$ implica $x = y$.
2. $f$ es sobreyectiva si y sólo si $Im(f) = Y$.
3. $f$ es biyectiva (o $f$ es una biyección) si $f$ es inyectiva y sobreyectiva.

Para antes de seguir leyendo:

1. Demuestre que para cualquier conjunto, la función identidad $f: A \longrightarrow A$ es una biyección.
2. Diremos que una función $f: A \longrightarrow B$ es constante si $Im(f)$ es un singleton. Encuentre una condición necesaria y suficiente para que una función constante $f: A \longrightarrow B$ sea una biyección.
3. la función $\varnothing: \varnothing \longrightarrow \varnothing$ es una biyección. [ ¿Qué ocurriría si no fuera 1:1? ¿Qué ocurriría si no fuera sobreyectiva?].

Note que las propiedades de sobreyectividad y biyectividad no dependen exclusivamente de la función $f$, sino también del conjunto $B$, de modo que, por ejemplo, es más correcto decir: $f$ es una sobreyección de $A$ en $B$.

Ejemplo 103   Sea $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ la función $f(x) = 2x + 1$. Veamos que $f$ es una biyección:

1. Inyectividad: si $f(x) = f(y)$, entonces $2x + 1 = 2y + 1$. Por ende $2x = 2y$ y $x = y$.
2. Sobreyectividad: Hay que mostrar que $Im(f) = \mathbb{R}$. Es claro que $\Im(f) \subseteq \mathbb{R}$. Para la otra inclusión, sea $y \in \mathbb{R}$. Es fácil ver que si $x = (y - 1)/2$, entonces $f(x) = y$, y esto prueba que $y \in Im{f}$ (dado que $y$ es imagen bajo $f$ de algún real $x$).

Ejemplo 104   Sea $g: \mathbb{R} \longrightarrow [0, \infty)$ la función $g(x) = x^{2}$. Es fácil ver que $Im(g) = [0, \infty)$, luego $g$ es sobreyectiva. Pero $g$ no es inyectiva: $g(-3) = g(3)$, pero $3 \not= -3$. En otras palabras, si sabemos quién es $g(x)$, no sabemos con seguridad quién es $x$.

Definición 105 (Función invertible)   Diremos que una función $f$ es invertible, si y sólo si la relación $f^{-1}$ es también una función.

Recuerde que $f^{-1} = \{ (f(x), x) : x \in dom(f)\}$, luego si $f$ es invertible, entonces $Dom(f^{-1}) = Im(f)$, e $Im(f^{-1}) = dom(f)$.

Ejemplo 106   Sea $f:\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{R}$ la función $f(r) = \sqrt{2}r$. $f = \{ (r, \sqrt{2}r) : r \in \mathbb{Z} \}$, de modo que $f^{-1} = \{ (\sqrt{2}r, r ) : r \in \mathbb{Z} \}$. Si $(\sqrt{2}r, r), (\sqrt{2}s, s) \in f^{-1}$ y $\sqrt{2}r = \sqrt{2}s$, entonces $r = s$. Esto prueba que $f^{-1}$ es una función, luego $f$ es invertible. Sea $B = \{ \sqrt{2}r : r \in \mathbb{Z} \}$. Es claro que $B = Im(f) = Dom(f^{-1})$, y además que $Im(f^{-1}) = Dom(f) = \mathbb{Z}$.

Lema 107   Para $f: A \longrightarrow B$, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $f$ es inyectiva.
2. Para todos $x, y \in A$, $x \not= y$ implica $f(x) \not= f(y)$.
3. $f$ es invertible.

La prueba se deja como ejercicio.

Note que si $f$ es invertible, entonces $(f^{-1})^{-1} = f$, luego $f^{-1}$ es invertible (e inyectiva, por el teorema anterior).

Muchas funciones pueden expresarse como composición de varias funciones básicas. Para determinar la inyectividad de una función, en varios casos bastará con estudiar la inyectividad de las funciones básicas que la componen. Lo mismo ocurre con la sobreyectividad.

Teorema 108   Para $f: A \longrightarrow B$, $g: B \longrightarrow C$, tenemos:

1. Si $f$ y $g$ son inyectivas, entonces $g \circ f$ es inyectiva.
2. Si $f$ y $g$ son sobreyectivas, entonces $g \circ f$ es sobreyectiva.
3. Si $f$ y $g$ son biyectivas, entonces $g \circ f$ es biyectiva.

Demostración. [Prueba]

(a)

Si $g(f(x)) = g(f(y))$. Entonces por inyectividad de $g$, $f(x) = f(y)$. Por inyectividad de $f$, $x = y$. Esto prueba la inyectividad de $g \circ f$.

(b)

Dado $c \in C$, por sobreyectividad de $g$ existe $b \in B$ tal que $g(b) = c$. Por sobreyectividad de $f$, existe $a \in A$ tal que $f(a) = b$. Por ende, $c = g(f(a))$, y esto prueba la sobreyectividad de $g \circ f$.

(c)

Se deduce de (a) y (b).

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¿Valen los conversos de las propiedades anteriores? La respuesta es negativa en general. Pero al menos podemos concluir lo siguiente:

Teorema 109   Para $f: A \longrightarrow B$, $g: B \longrightarrow C$, tenemos:

1. Si $g \circ f$ es inyectiva, entonces $f$ es inyectiva.
2. Si $g \circ f$ es sobreyectiva, entonces $g$ es sobreyectiva.

Demostración. [Prueba]

(1): Suponga $f(x) = f(y)$. Entonces $g(f(x)) = g(f(y))$, e.d., $(g \circ f)(x) = (g \circ f)(y)$. Por inyectividad de $g \circ f$, concluimos $x = y$.

(2): Sea $c \in C$. Como $g \circ f: A \longrightarrow C$ es sobre, existe $a$ tal que $c = (g \circ f)(a) = g(f(a))$. Esto prueba que $c \in Im(g)$. $\qedsymbol$

Definición 110 (Inversa a derecha e inversa a izquierda de funciones)   Sea $f: X \longrightarrow Y$ una función.

1. Una inversa a izquierda de $f$ es una función $g: Y \longrightarrow X$ tal que $g \circ f = Id_{X}$.
2. Una inversa a derecha de $f$ es una función $h: Y \longrightarrow X$ tal que $f \circ h = Id_{Y}$.

La existencia de inversas a derecha e izquierda de una función es una caracterización de inyectividad y sobreyectividad:

Teorema 111   Para $f: A \longrightarrow B$:

1. $f$ es 1-1 si y sólo si $f$ tiene una inversa a izquierda.
2. $f$ es sobreyectiva si y sólo si $f$ tiene una inversa a derecha.

La prueba se deja como ejercicio.

Corolario 112   Si $g \circ f = Id_{A}$, entonces $f$ es inyectiva y $g$ es sobreyectiva.

Suponga el caso en que $f: A \longrightarrow B$ tiene inversas $g: B \longrightarrow A$ y $h: B \longrightarrow A$ a izquierda y derecha, respectivamente. La existencia de $h$ garantiza que $B$ es la imagen de $f$. Además, la existencia de $g$ garantiza que $f$ es invertible, luego $f^{-1}$ es función con dominio $Im(f) = B$.

Bajo las anteriores condiciones podemos concluir que $g$ y $h$ son la misma función, y más aún, son iguales a $f^{-1}$. Veamos la demostración:

Sabemos que $Id_{A} = g \circ f$, luego $f^{-1} = Id_{A} \circ f^{-1} = (g \circ f) \circ f^{-1} = g \circ (f \circ f^{-1}) = g \circ Id_{Dom(f^{-1})} = g \circ Id_{B} = g$. Así, $f^{-1} = g$. Ahora, $Id_{B} = f \circ h$, luego $f^{-1} = f^{-1} \circ Id_{B} = f^{-1} \circ (f \circ h) = (f^{-1} \circ f) \circ h = Id_{A} \circ h = h$, y así, $f^{-1} = h$.

A continuación enunciamos un criterio muy útil para verificar si cierta función es biyectiva:

Teorema 113   Sean $f: A \longrightarrow B$, $g: B \longrightarrow A$ funciones. Si $g \circ f = Id_{A}$ y $f \circ g = Id_{B}$, entonces $f$ y $g$ son biyectivas y mutuamente inversas, esto es, $f^{-1} = g$ y $g^{-1} = f$.

Demostración. [Prueba]Como $f$ tiene a $g$ como inversa a izquierda y derecha, por el corolario 112 $f$ es biyectiva. De manera análoga podemos concluir que $g$ es una biyección. Por la demostración anterior al enunciado del teorema concluimos que $f^{-1} = g$, Entonces $f = ( f^{-1} )^{-1} = g^{-1}$. $\qedsymbol$

Lema 114   Sean $A_{0}$ y $A_{1}$ conjuntos disyuntos, $B_{0}$ y $B_{1}$ conjuntos disyuntos, y $f_{0} : A_{0} \longrightarrow B_{0}$, $f_{1} : A_{1} \longrightarrow B_{1}$ funciones. Sea $f : A_{0} \cup A_{1} \longrightarrow B_{0} \cup B_{1}$ la función definida por:

$$f(x) = \begin{cases} f_{0}(x) & \text{ si } x \in A_{0} \\ f_{1}(x) & \text{ si } x \in A_{1} \end{cases}$$

Entonces:

1. Si $f_{0}$ y $f_{1}$ son inyectivas, entonces $f$ también lo es.
2. $Im(f) = Im(f_{0}) \cup Im(f_{1})$ (en particular, si $f_{0}$ y $f_{1}$ son sobreyectivas, entonces $f$ también lo es).

Demostración. Probamos la primera propiedad, dejando la segunda al lector. Sean $x, y \in A_{0} \cup A_{1}$ tales que $f(x) = f(y) \in B_{0} \cup B_{1}$. Como $B_{0}$ y $B_{1}$ son disyuntos, supongamos que $f(x) \in B_{0} \smallsetminus B_{1}$ (el caso $f(x) \in B_{1}$ es similar). Entonces $x \in A_{0}$ (de lo contrario se tendría $x \in A_{1}$, y consecuentemente $f(x) = f_{0}(x) \in B_{0}$. Similarmente $y \in A_{0}$. Entonces $f_{0}(x) = f(x) = f(y) = f_{0}(y)$. Como $f_{0}$ es inyectiva, concluimos que $x = y$. $\qedsymbol$