Funciones

Intuitivamente una función es una regla que asocia elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto, de modo que elemento del primer conjunto se asocia con uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Visto de otro modo, una función es una máquina que transforma elementos en otros elementos, y cada elemento puede transformarse en un único elemento.

Definición 93 (Función)   Una función $f$ es una relación que cumple la siguiente propiedad: si $(x, y), (x, y') \in f$, entonces $y = y'$. En otras palabras, para cada $x \in Dom(f)$ existe un único $y$ tal que $(x, y) \in f$.

Ejemplo 94 (La función identidad)   Dado $A$ un conjunto, $Id_{A}$ es una función, pues si $(x, y), (x, y') \in Id_{A}$, entonces $x = y$ y $x = y'$, luego $y = y'$. Así, la relación identidad es también una función.

La relación divide $\vert \subseteq \mathbb{Z}^{2}$ no es una función pues un entero puede dividir más de un número. Por ejemplo, $(2, 4) \in \vert$ y $(2, 10) \in \vert$, pero $4 \neq 10$. La relación ``madre'' es función, pues todo ser humano tiene una única madre.

Dada $f$ una función y $x$ un elemento de su dominio, llamaremos $f(x)$ a el único $y$ tal que $(x, y) \in f$. Por lo tanto, las proposiciones $(x, y) \in f$, $xfy$ y $y = f(x)$ son equivalentes. Note que al utilizar la expresión $f(x)$ se asume implícitamente que $x \in Dom(f)$. El lector debe ser cuidadoso con esta sutileza. Concluimos que si $f: A \longrightarrow B$ es una función, entonces $f = \{ (x, f(x)) : x \in A \}$.

La expresión $f: A \longrightarrow B$ significará lo siguiente: $f$ es una función, $Dom(f) = A$ e $Im(f) \subseteq B$. Una manera común de definir una función $f$ es especificar su dominio $A$ y dar una definición para $f(x)$, dado $x \in A$. Por ejemplo:

Ejemplo 95   Sea $f$ la siguiente función: su dominio es $A = \mathbb{N}$, y dado $n \in A$, $f(n) = -n^2 - 1$. Por ejemplo $f(0) = -1$, $f(6) = -37$, etc. Note que para todo $n \in A$, $f(n) \in \mathbb{Z}^-$, luego podemos afirmar lo siguiente:

$$f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{Z}^{-}$$

Una manera equivalente de decir $y = f(x)$ es $x \mapsto y$ y se lee f manda, envía o asocia $x$ a $y$. Por ejemplo la función

$$g:\mathbb{Z}^* \rightarrow \mathbb{Q}$$

$$z \mapsto \frac{z}{\vert z\vert}$$

es aquella dada por $$g(z) = \frac{z}{\vert z\vert}$$, con dominio los enteros no nulos. Una descripción conjuntista de $g$ es:

$$g = \{ (x, y) : x \in \mathbb{Z}, \; y = \frac{z}{\vert z\vert} \} \subseteq \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}$$

Si nos preguntamos quién es $g(0)$, tenemos problemas. Por un lado, $\frac{0}{\vert\vert}$ no es ningún número: si pensamos en $g$ como una máquina, no podemos introducir al cero o descompondremos la máquina (ésta se enloquecerá al intentar dividir por cero). Por otro lado, $0$ no es un elemento del dominio de $g$, luego la expresión $g(0)$ no tiene referencia alguna, no representa ningún objeto. Lo mismo sucede con la función $r =$el rey de, que no tiene a $C =$ Colombia en su dominio, pues $r(C) =$ el rey de Colombia no se refiere a ninguna persona.

Recordando la definición de imagen de una relación, tendremos para $f: A \longrightarrow B$ una función:

$$Im(f) = \{ y : \exists x \in Dom(f) : (x, y) \in f \} = \{ y : \exists x \in A : y = f(x) \} = \{ f(x) : x \in A \}$$

Por ejemplo, para la función $f$ del ejemplo 95, sabemos que $Im(f) \subseteq Z^{-}$. Sin embargo la igualdad no se da: note que $Im(f) = \{ f(0), f(1), f(2), \ldots \} = \{ -1, -2, -5, \ldots \}$.

Ejemplo 96 (Funciones dadas como tuplas)   Dado $A_{n} = \{ 0, 1, 2, \ldots, n\}$ y $B$ un conjunto cualquiera, una función $f:A_{n} \longrightarrow B$ puede representarse mediante la $n + 1$-tupla $(f(0). f(1), \ldots, f(n))$. Por ejemplo la tupla $f = (2, 2, \ldots, 2)$ representa la función constante $2$, es decir, $f(k) = 2$, para $k = 0, 1, \ldots, n$.

Sabemos que la intersección de dos relaciones es una relación, pues si $R_{1} \subseteq A_{1}^{2}$ y $R_{2} \subseteq A_{2}^{2}$, entonces $R_{1} \cap R_{2} \subseteq A_{1}^{2} \cap A_{2}^{2} = (A_{1} \cap A_{2})^{2}$. Para el caso de las funciones se cumplirá lo mismo:

Lema 97   Si $f_{1} : A_{1} \longrightarrow B_{1}$ y $f_{2} : A_{2} \longrightarrow B_{2}$, entonces $f = f_{1} \cap f_{2}$ es una función, $Dom(f) \subseteq$ e $Im(f) \subseteq Im(f_{1}) \cap Im(f_{2})$.

Demostración. [Prueba]

Ya hemos notado que $f$ es una relación. Si $x \in Dom(f)$, entonces existe $y$ tal que $(x, y) \in f_{1} \cap f_{2}$, lo que implica que $x \in Dom(f_{1}) \cap Dom(f_{2}) = A_{1} \cap A_{2}$. Similarmente se puede probar que $Im(f) \subseteq Im(f_{1}) \cap Im(f_{2})$.

Finalmente probemos que $f$ es una función: si $(x, y), (x, y') \in f = f_{1} \cap f_{2}$, entonces en particular $(x, y), (x, y') \in f_{1}$. Como $f_{1}$ es una función, concluimos que $y = y'$.

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